[戰略工房] 第4集-賽制解析：獨家解密，瑞士積分賽制深度解析與玩家策略

瑞士積分賽制介紹

前言

今天是數學家單元

本年度的夏季賽已經全部落幕

在這次的預賽當中

產生了最終決賽的種子選手們

獲選的選手固然開心

然而，因為今年度賽制的關係

在玩家間產生一個新的話題

今年比賽同為一敗相當多

為何有人能脫穎而出，有人卻名落孫山.

是天道不公抑或是暗箱操作，究竟瑞士積分奧秘為何

玩家又該以甚麼策略才能走上通往複賽的捷徑

唯有弄清一切的真相

才能保障自身權益，不再憤世嫉俗

究竟瑞士積分制的奧秘為何？

玩家又該以什麼策略最有利？

本文以本次ACS的比賽結果

輔以社內玩家自身經驗驗算解密

希望能夠幫助大家

瑞士積分賽制介紹

瑞士積分賽制，原本為西洋棋競賽中常用的賽制

後來延伸為卡牌遊戲常用的賽制

遊戲王官方Konami

有自行開發官方賽的瑞士積分程式推行到全世界

因此瑞士積分賽制為遊戲王的公認賽制

在場地和時間都允許的情況下

有公信力的比賽幾乎都是使用此賽制

相較於大家在店舖內常用的「單淘汰賽制」

輸一場就結束

瑞士積分賽制讓參賽者能夠完整參與比賽

並且排名會依照整個賽事的結果

能夠較為客觀的展現選手實力

瑞士積分的配對規則

第一場比賽，玩家會隨機分配對手

第二場之後，雙方玩家會依照現有成績

與相同成績的對手互相配對
每個人都可以比完全部的比賽
(例如比5輪就是每人都可打滿5場)

每人獲勝一場可以得3分

落敗得0分

平手的話是雙方各得1分

以這次的比賽來說

一位選手如果在 2勝1敗的狀況下進行第四輪的比賽

那他的配對對手也會是2勝1敗的選手

連續幾輪之後

玩家的成績會呈現如同巴斯卡三角形的分布

以勝率50%的人數為最多

往兩端逐次遞減

隨著輪數的進行

全勝的人數會越來越少

直到主辦方將比賽結束為止

一般來說

主辦方會將排名在前面的選手

選入一個「季後賽」的第二階段

並且給予排名前面的選手一定的優勢

如何決定排名：Tiebreaker的數字意義

為什麼4勝1敗，我還是沒上？

為什麼我跟某某戰績一樣，卻差10幾名？

相信本次比賽中不少選手都有這些疑問

其實在這次所公布的排名當中

便有這個問題的解答

圖片為北區預賽的真實結果

可以看到每位選手後面有一串Tiebreaker的數字

舉5號選手為例 後面的數字為 12714626

這串數字就是決定選手排名的數字

其中最前面兩碼 12是這名選手的積分

後面3碼714，這段稱為「小分」(第一小分)

本串數字的計算規則是

這位選手在本場比賽中，配對到的所有對手總勝率

算法是 對手勝場合計總數/對手場次合計總數

以這邊的5號選手打5輪714為例

714的意思是

他所遇到的5個對手之中

5個人的總勝場數/5個人總場數 = 71.4%

取前3位小數點作為分數

值得一提的是分母中的「5人總場數」

在全員完賽的狀況下是25場

然而，實際比賽中

考量到會有 「提前離賽」(跳game = drop)的選擇

所以分母不一定是25，可能是20-25之間

要看他遇到的對手在哪些輪跳game

另外，根據本社五名參賽者驗算結果

拿到平局的場次會計算為0.33，也就是1/3場

直接用簡單的公式來計算

小分 = (所有對手分數總和)/[3分 x (所有對手場數總和)]

71.4%的意思是

他總共遇到5個對手，這5人分數總共45分

打的總場次是21場 (因為有人跳game少4場)

45/63 = 0.714

最後的三碼626，稱為「小小分」(第二小分)

這邊的計算方式是

5名對手遇到的所有對手，共計25人

這25人的分數總和/[3分x(25人的場數總和)]

與小分計算相同

但是這邊所謂「對手的對手」

會重複算到自己，也就是說自己會被算五次

再加上剩下的20人

一般來說，遊戲王的比賽

會比到小小分決勝的機率很低

不過要進行驗算還是可以的

只是要知道所有對手都遭遇到的對手較為困難

依照上述的規則

形成一組8碼的Tiebreaker

他的格式是
 [個人分]+[對手勝率小分]+[對手的對手勝率小小分]

便可以照數字將玩家排名

這個排名是有公信力的

打到勝率越高的對手，個人的小分會越高

代表遊戲的實力越強

因此大部分的卡片遊戲都會採用這個賽制

不過勝敗和的配分不一樣的話，會有些微的影響

所以本文只侷限於討論遊戲王的比賽

下次比完賽不要急著走

試著把自己的對手名字跟牌組都記下來

比對自己的Tiebreaker是多少

或許會對預測當期環境有更深的體悟也說不定

瑞士積分賽的玩家策略

瑞士積分的規則其實就是這麼簡單

然而在玩家策略上卻有一些點可以討論

雖然坊間跟比賽會場都有很多傳說

但先前的比賽沒有公布Tiebreaker

導致有時候討論的結果與實際不符

賽場老手的經驗也不一定能複製

不過，既然已經清楚了規則

就可以用數學模型來討論

一.如何決定過關門檻

打到什麼程度會晉級

取決於主辦單位設定的人數

原則上，任何主辦單位都會在賽前就公布輪數

還有過關的人數

不然依照瑞士輪瞬息萬變的分配

沒有先公佈會很容易造成加賽或是爭議

由於瑞士積分制會以巴斯卡三角形分配選手

比賽的結果會是依照「二項式展開」的係數來分配

假設a是勝b是敗 a的n次方是n勝 b的n次方是n敗
所以我們會知道比賽的結果比例是

全勝:一敗:二敗:三敗:..... = 1:n:Cn取2:Cn取3:.......

要將係數換算成人數的話，要乘以一個數

假設總人數為A  輪數為N

那實際人數就是都乘上 A/2的N次方

所以實際人數是

全勝 = A/2的N次方

一敗 = N x A/2的N次方

二敗 = CN取2 x A/2的N次方

以本次北區參賽人數96人，比5輪為例

2的5次方為32，96/32=3

如果只有勝敗兩種結果(全場無和)

將會產生 3個全勝 15個一敗  30個二敗的選手

但是加上和局的話

4勝一和則可能直接佔去15名額中的2-6名

一般來說，條件允許的話

主辦方會希望讓一敗的都能夠過關

因此會希望2的N次方越接近總人數越好

輪數越多會越合理

不過本次主辦單位公布取7人

所以賽前就可以知道

這次的一敗選手只有前1/3的機率被選上

如果再考慮到和局的話

過關門檻是4勝1和

以下的戰績都有淘汰風險

更差的戰績更是等同陪打而已

玩家在賽前可以參考主辦方公布的人數

來考慮過關門檻

假設一場800人打9輪的比賽

我們可以算出係數為800/512=1.5625

全勝的應該有 2人 (1.5625 無條件進位)

一敗的應該有15人 (1.5626x9 無條件進位)

兩敗的應該有57人 (1.5626xC9取2 無條件進位)

官方取16名的話，一敗的會有1人被淘汰

但官方取32名的話，兩敗的還會取到前15個

已過往的北區賽300人打7輪為例

係數為300/128 = 2.34375

會產生全勝 2或3人 一敗 17或16人 兩敗 49人

取前16名會淘汰掉一敗的2-3人

取前8則是一敗也會淘汰一半

總之，我們賽前就可以算出本次過關門檻

戰績低於門檻的話就可以放棄回家

考慮會出現和局的人

人數可能會有2-3個的誤差變動

以台灣的遊戲王賽制來說，因為場地有限

長久以來門檻都是最多一敗
等於是比賽中，輸第二場就可以回家了

二.賽局分析--玩家怎麼通過門檻

如上所述，tiebreaker中的三碼小分

是由對手勝率總和來計算的

小分之中，因為自己沒有被算在內

玩家自己是無法操縱的

只能看對手給不給機會

假設Ｘ人參賽，ｎ輪瑞士比賽，取Ｋ人晉級，得

則競爭小分參賽者將落在(n¦k)之組別內

例．此次比賽９６人，５輪瑞士，取７人晉級

則理想狀況下，四勝一敗中１５人，將有４人晉級

在確認戰績相同，須競爭小分的組別後
便可更進一步預估小分的錄取範圍

於大分相同的參賽者中
會因為產生第一敗績的輪數
限制小分的極大極小值．並可再將組內人數均分為ｎ組

假設同上比賽96人，5輪瑞士，取7人晉級

其中4勝1敗中15取4人

（在此假設所有參賽者皆以晉級為目標，二敗立即棄賽）

計算細節如下 (因為戰績相同配對，只有輸的對手會變動)
圖中數字為 勝場數/總場數
極小=遇到的對手之後立刻湊滿2敗跳game
極大=遇到的對手後面全勝

由最高往下共取四位的話
估計小分在６８０以上，即可錄取

與這次北區一的最低錄取小分６３８相去無幾

並且最大值考慮諸多理想狀況，負偏差亦在預估範圍

由以上預估錄取與北區一實際錄取情形
可看出估計的準確性
雖因有四勝一平的參賽者產生的誤差
但仍然在預估範圍之內

到此，為了被數學厭棄的玩家
直接給一個簡單的預估方式

1.首先，假設比賽有A人參加共打N輪
我們先算出全勝的人數 A/(2的N次方)
扣掉之後就是一敗組的錄取人數

2.計算一敗組的人數，會是全勝人數的N倍
一般來說，遊戲王比賽幾乎都在這組競爭小分
用總錄取人數扣掉全勝，就是本組過關人數
(找出會有同戰績競爭的組別及總人數與預估錄取人數)

3.畫出一個類似上表的圖形
一個圈圈代表一個人，排出一個圖形
從最右下角圍出一個階梯狀的範圍
且其範圍內必須小於等於組內預估錄取人數

在此範圍內即為可能過關之戰績

雖然要詳細計算，不過至少我們能看出
如果過關人數給得太少 (階梯範圍太小，侷限在右下)
那在第一二輪一敗的選手，基本上不可能錄取
並且能根據自己目前遇到對手退出遊戲人數
也可以預測自己的錄取可能

另外，在小分預測這邊，還可以提的點是

1.每位對手未必是等價的

以本次北區預賽來看

5輪所遭遇的每位對手

所貢獻的勝場數並沒有經過加權

也就是說不管在第幾輪遇到的對手

全打完的話，所貢獻的小分最終都是等價的
所貢獻的小分是各自1/5的比例

然而真實的比賽

會因為不同的跳game的時機點

會使得總場次有變動，就不一定是各自1/5
很遺憾的是，會跳game的都是2敗
所以對手跳得多，其實是把扣分的比例提高了

2.留下來比賽一定會增加小分嗎？

先講結論，贏才會加，輸是會扣的

當你希望對手幫忙提高小分

前提是你覺得他有能力贏下去

假設你的對手輸掉之後

他目前貢獻的小分勝率是 x/y

下一場如果他選擇繼續打並且贏

小分勝率將會變成 x+1/y+1

輸了則是變成 x/y+1

而跳game則是持續維持 x/y

因為x/y是一個小於1的真分數

上下加1會變大

所以真實比賽中「 x/y+1 < x/y < x+1/y+1 」
(贏會加，輸會扣，跳不變....)

也就是說，如果對手選擇留下來比賽

卻輸掉的話，他還是拉低了你的小分

以比較淺顯的例子來說

第三輪比賽結束 2勝1敗的選手所貢獻小分是 2/3 = 0.66

到此跳game會貢獻0.66

下一場贏了會貢獻 3/4=0.75

下一場輸了會貢獻 2/4=0.5

因此，不要管對手何時跳game應該是最佳的策略

假設一個人的平均勝率是a，目前勝率是x/y

下一場小分的期望值是 a(x+1/y+1)+(1-a)(x/y+1)

要讓下一場的期望值大於0

可以得到結果是 a<x/y

直觀一點的講法就是

如果到此為止還沒發揮出實力 (場次未達勝率a)

繼續打會幫助你的對手賺小分

但反之則會害你的對手扣小分

所以理想上，想幫助對手賺小分的話

就是打到自己的平均勝率為止

相反的
想害對手扣小分則是一直打一直輸，不跳game

所以，大家在比賽中要友善交流
不要起爭議得罪自己的對手

3.在哪一輪輸掉跟小分有沒有關係

前面的算式已經算出
最後的過關人數分布會是一個從右下角開始的階梯形

所以在後面的場次輸掉確實比較有利
不過如上圖所示
即使在最後一場輸掉還是可能會被淘汰

所以輪數並不能預測哪邊必定會進
只能預測哪邊必定不會進

另外，瑞士積分賽的戰績與桌次

和小分並無相關

在同樣戰績的附近幾桌

每個人的戰績都是一樣的

並沒有桌次越往前越有利的結果


4.跳game對手越多，小分越低
最後，給予大家簡單的小分預估方式
常理來說賽場型玩家不會作無謂的努力
所以，如果之前對戰過的對手
在第Ｋ輪比賽從名單中消失
基本可以猜測他的小分貢獻為(k-3)勝/(k-1)場
因為他在第k-1輪累積二敗並脫離遊戲

原則上不會有人在還有機會晉級的情況下退出
所以當你看到你曾對戰過的對手
越多人退出遊戲，則理論小分也越低
除非場內一堆人很想玩牌把比賽打完才會有誤差

三.和局因素的操控

在遊戲王官方的設計，和局是雙方各加1分

雖然並不是0，但跟贏還是差了2分

當過關門檻是只容許1敗的話

在任何一個場次拿到1和，其實和1敗是一樣的

都有不能再輸的壓力

然而從總戰績的方向來看

假設真的後面都守住獲勝

1和的成績會排在1敗的前面

因此和局在某些條件上也會有得利的狀況

1.最後一場和局 (已被禁止)

兩個全勝互打會讓雙方都變成1和

讓雙方都通過門檻

排擠其他1敗的機會

這個bug因為太明顯

所以一般來說最後一場

官方都會宣布本場比賽只有勝跟敗，不能談和

2.倒數第二場和局

全勝桌打到雙方變成1和

會讓雙方都有下一場不能輸的壓力

正常遇到不認識的對手
應該不會有人冒風險提出求和
(注：這邊說的風險，並不是打輸的風險
而是被舉報給裁判的風險)

然而，當一個比賽在固定的人之間進行多年

參賽者都變成可以預測的時候

倒數第二場和局才有可能變成策略

由先前諸多分析及數據
即可瞭解到到前（ｎ－２）輪全勝
如果小分過低，即使只輸最後一場，依舊無法錄取

在此便出現於（ｎ－１）輪與對手平局的選擇
假設對局雙方皆是小分較低的（ｎ－２）輪全勝者
在（ｎ－１）輪如果獲勝，最終輪仍然要獲勝才可晉級
反之如果輸了一樣淘汰

那如果平局會產生怎樣的結果呢？
簡單來說
對倒數第二輪的低小分全勝桌(並不知道哪桌)來說
這兩個人
打贏的人，最終輪還是一樣要贏
打輸的人，最終輪贏了還是淘汰
但如果打和的話，最終輪都贏下來必定一起過關

如果你的對手也知道這個前提
他也不想冒險打輸

而且如果是老手玩家還會知道一件事
就是現在他有1/5的小分在你手上
萬一打贏你，會讓你憤而跳game或亂打扣他小分
導致他輸最後一場淘汰

在這樣的前提之下
對手會同意與你平局的機會是很高的

假設倒數第二場的全勝桌有2桌
一敗桌有12桌

其中一桌全勝桌打和

經過這輪之後，會變成1個全勝、2個1和、7個1敗
這時候配對只會牽涉到這10個人

就變成可以預測

而且在和局人數不夠多的狀況下

帶著1和配對下一場的對手是1敗

在1敗未必會過關但1和必定過關的條件下

1和的玩家其實還有可以說服1敗的對手放棄的條件

因此，為了避免玩家彼此結黨牟利

理想的比賽在倒數第二場

應該禁止全勝桌打成和局(其他則不用)

或是持續有不認識的新人投入賽場

讓名單變得不能預測，都配對到不認識的玩家
這樣的策略才會變得沒用

擔心提出這點會因為太多人看過這篇文章
而導致倒數第二輪平局過多嗎？
其實不必擔心，因為會得利的只有小分較低的桌次
實際上玩家並不知道自己坐的是哪一桌

再者，自己放棄戰鬥的人
通常下一場都會被牌組制裁
打閃刀起手沒怪，打天琴起手都是怪

理論上在最後結算時
場次中最多僅可能有２(n１)全勝一平局的參賽者
而且目前官方賽錄取人數都會在此之上
可能也是依此數據作評估的！

所以，倒數第二場和局的策略大家放心裡知道就好
認真打好每場比賽永遠是最佳的策略


3.在其他場次和局

和局本身是1分，和局2次只能拿2分

而同樣兩場，1勝1敗則是拿3分

兩和跟淘汰是一樣的

總而言之，以現行賽制

要帶和局過關只有可能是1和0敗
所以其他場和局就不用想了
剩下只能全贏，一輸就淘汰


結論

學會計算tiebreaker之後
也許你會更確定為什麼排名是這樣排

客觀來說，瑞士積分賽
是相對較能反映選手水準的一個賽制
較不會受到籤運的因素干擾
玩家也能一直遇到水平相近的對手
而有較好的遊戲體驗

本文中所提的策略僅供參考用
在此總結一下
數學不好的同學可以只記這邊

1.先計算這場比賽的全勝人數
總人數A，打N輪，全勝人數為 A除以(2的N次方)

2.不考慮和局，一敗的人數會是全勝的N倍

3.接下來計算過關人數，扣掉全勝
看看會取到哪一組別
(有的比賽會取到2敗，2敗的人數是 C N取2 倍)

4.畫出那組組別的小分分布圖，從右下角畫出階梯形
決定哪邊輸掉可以過關

##在一敗組裡
階梯的綜向是輪數，橫向是 全勝人數=A除以(2的N次方)
例如96/32=3  打5輪  就是畫一個5x3的圖

如果沒有落在完全沒希望的部分
其他只能靠運氣了

講到這邊，其實最想傳達的觀念是
真正比賽最好的策略
永遠都是「了解環境、全力以赴」

與其算盡了各種細節
不如好好享受比賽帶來的樂趣

這種純粹的心境
反而會促使你在比賽之後有所成長
玩起來也比較快樂

畢竟遊戲王的圈子還是很小的
只有每個人都真心正向的投入遊戲

才會越來越多人加入我們
冠軍獎盃才會更有價值